Pulning vaqt qiymati - Time value of money

Ushbu maqola umumiy ro'yxatini o'z ichiga oladi ma'lumotnomalar, lekin bu asosan tasdiqlanmagan bo'lib qolmoqda, chunki unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering yaxshilash tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2019 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Kelgusi 100 yil ichida hozirgi qiymati 1000 dollar. Egri chiziqlar doimiy ravishda 2%, 3%, 5% va 7% chegirma stavkalarini aks ettiradi.

The pulning vaqt qiymati summasini olishdan ko'proq foyda bor degan keng tarqalgan gipotezadir pul endi bir xil summaning o'rniga. Bu keyinchalik ishlab chiqilgan kontseptsiyasining ma'nosi sifatida qaralishi mumkin vaqtni afzal ko'rish.

The vaqt pulning qiymati bunga sababdir qiziqish to'lanadi yoki kasb qilinadi: foizlar, a bank depoziti yoki qarz, omonatchiga yoki qarz beruvchiga pulning vaqt qiymatini qoplaydi. Demak, u ham asoslanadi sarmoya. Investorlar pulni sarflashni hozirgina qulay vaziyatni kutgan taqdirdagina rad etishga tayyor qaytish ularning kelajakdagi investitsiyalari bo'yicha, shuncha ko'paygan qiymat keyinchalik mavjud bo'lish hozirda pul sarflashni afzal ko'rish uchun etarli darajada yuqori; qarang talab qilinadigan daromad darajasi.

Tarix

The Talmud (~ 500 milodiy) pulning vaqt qiymatini tan oladi. Traktatda Makkos 3a sahifasida Talmudda guvohlar qarz berish muddati 30 kun, aslida 10 yil bo'lgan deb yolg'on da'vo qilgan ishni muhokama qilishadi. Soxta guvohlar qarz qiymatining farqini "o'ttiz kun ichida pulni qaytarib berishni talab qiladigan vaziyatda ... va o'sha summani berishni talab qiladigan vaziyatda to'lashlari shart". 10 yil ichida qaytarib beriladigan pul ... Farqi - bu (yolg'onchi) guvohlarning qarz oluvchidan mahrum bo'lishni xohlagan ko'rsatmalari, shuning uchun ular to'lashlari kerak bo'lgan summa. " ^[1]

Keyinchalik tushuncha tomonidan tasvirlangan Martin de Azpilueta (1491-1586) ning Salamanka maktabi.

Hisob-kitoblar

Pul bilan bog'liq muammolarning vaqt qiymati vaqtning turli nuqtalarida pul oqimlarining sof qiymatini o'z ichiga oladi.

Odatiy holatda o'zgaruvchilar quyidagilar bo'lishi mumkin: qoldiq (qarzning yoki moliyaviy aktivning pul birliklari bo'yicha haqiqiy yoki nominal qiymati), foizlarning davriy stavkasi, davrlar soni va bir qator pul oqimlari. (Qarz bo'lsa, pul oqimlari bu asosiy qarz va foizlar bo'yicha to'lovlar; moliyaviy aktivga nisbatan bu balansga qo'shilish yoki olib qo'yishdir.) Umuman olganda, pul oqimlari davriy bo'lmasligi mumkin, lekin ko'rsatilishi mumkin individual ravishda. Ushbu o'zgaruvchilardan har qanday biri berilgan muammoning mustaqil o'zgaruvchisi (izlanadigan javob) bo'lishi mumkin. Masalan, kimdir bilishi mumkin: foizlar har bir davr uchun 0,5% (oyiga, aytaylik); davrlar soni 60 (oy); dastlabki qoldiq (qarzdorlik, bu holda) 25000 donani tashkil qiladi; va yakuniy qoldiq 0 birlik. Noma'lum o'zgaruvchi qarz oluvchi to'lashi kerak bo'lgan oylik to'lov bo'lishi mumkin.

Masalan, 5% foizli daromad olgan bir yilga 100 funt sterling, bir yildan so'ng 105 funtga teng bo'ladi; shu sababli, hozir 100 funt to'ladi va To'liq bir yildan so'ng to'lagan 105 funt ikkalasi ham inflyatsiya nol foizni tashkil etadi deb taxmin qiladigan 5% foizni kutayotgan qabul qiluvchiga bir xil qiymatga ega. Ya'ni, 5% foiz bilan bir yilga qo'yilgan 100 funt sterling a kelajakdagi qiymat inflyatsiya nol foizni tashkil qilishi taxminiga ko'ra 105 funt sterlingdan.^[2]

Ushbu tamoyil kelajakdagi daromadlar oqimini yillik daromadlar darajasida baholashga imkon beradi chegirmali va keyin birlashtirilib, shu bilan butun daromad oqimining bir martalik "hozirgi qiymati" ta'minlanadi; pulning vaqt qiymati bo'yicha barcha standart hisob-kitoblar uchun eng asosiy algebraik ifodadan kelib chiqadi hozirgi qiymat pulning vaqt qiymatiga teng miqdorda hozirgi kunga qadar "diskontlangan" bo'lajak summaning. Masalan, kelajakdagi qiymat yig'indisi ${ displaystyle FV}$ bir yilda olinadigan foiz stavkasi bo'yicha chegirmaga ega ${ displaystyle r}$ hozirgi qiymat summasini berish ${ displaystyle PV}$:

${ displaystyle PV = { frac {FV} {(1 + r)}}}$

Pulning vaqt qiymatiga asoslangan ba'zi bir standart hisob-kitoblar:

• Hozirgi qiymat: Kelgusi pul summasining joriy qiymati yoki oqimining qiymati pul oqimlari, belgilangan rentabellik darajasi. Kelgusi pul oqimlari "diskontlangan" chegirma stavkasi; diskontlash stavkasi qanchalik baland bo'lsa, kelajakdagi pul oqimlarining hozirgi qiymati shunchalik past bo'ladi. Tegishli diskont stavkasini aniqlash, daromad yoki majburiyat bo'lsin, kelajakdagi pul oqimlarini to'g'ri baholashning kalitidir.^[3]
• An ning joriy qiymati annuitet: Annuitet - bu bir xil intervallarda yuzaga keladigan bir qator teng to'lovlar yoki tushumlar. Ijara va ijara to'lovlari bunga misoldir. To'lovlar yoki tushumlar har bir davr oxirida oddiy annuitet uchun, har bir davr boshida esa to'lanadigan yillik annuitet uchun sodir bo'ladi.^[4]

A ning joriy qiymati abadiylik bir xil pul oqimlarining cheksiz va doimiy oqimidir.^[5]

• Kelajak qiymati: Kelgusida ushbu aktivning hozirgi kungi qiymatiga asoslanib belgilangan sana bo'yicha aktiv yoki naqd pul qiymati.^[6]
• Annuitetning kelajakdagi qiymati (FVA): To'lovlar foiz stavkasi bo'yicha investitsiya qilinganligini hisobga olgan holda to'lovlar oqimining (annuitet) kelajakdagi qiymati.

Yuqorida sanab o'tilgan tenglikni ifodalovchi bir necha asosiy tenglamalar mavjud. Yechimlarni (ko'p hollarda) formulalar, moliyaviy kalkulyator yoki a yordamida topish mumkin elektron jadval. Formulalar ko'pgina moliyaviy kalkulyatorlarda va bir nechta elektron jadval funktsiyalarida dasturlashtirilgan (PV, FV, RATE, NPER va PMT kabi).^[7]

Quyidagi tenglamalardan har qandayida, boshqa noma'lumlardan birini aniqlash uchun formulani ham qayta tuzish mumkin. Standart annuitet formulasida, foiz stavkasi uchun yopiq shakldagi algebraik echim mavjud emas (garchi moliyaviy kalkulyatorlar va elektron jadval dasturlari tezkor sinov va xato algoritmlari orqali echimlarni aniqlab olsa ham).

Ushbu tenglamalar tez-tez ma'lum maqsadlar uchun birlashtiriladi. Masalan, obligatsiyalar ushbu tenglamalar yordamida osonlikcha narxlanishi mumkin. Oddiy kuponli obligatsiya ikki turdagi to'lovlardan iborat: annuitetga o'xshash kupon to'lovlari oqimi va bir martalik to'lov kapitalni qaytarish obligatsiya oxirida yetuklik - bu kelajakdagi to'lov. Bog'lanishning hozirgi qiymatini aniqlash uchun ikkita formulani birlashtirish mumkin.

Muhim eslatma shundaki, bu foiz stavkasi men tegishli davr uchun foiz stavkasi. Yiliga bitta to'lovni amalga oshiradigan annuitet uchun, men yillik foiz stavkasi bo'ladi. Boshqa to'lovlar jadvaliga ega bo'lgan daromad yoki to'lov oqimi uchun foiz stavkasi tegishli davriy foiz stavkasiga aylantirilishi kerak. Masalan, oylik to'lovlar bilan ipoteka uchun oylik stavka foiz stavkasini 12 ga bo'lishini talab qiladi (quyidagi misolga qarang). Qarang aralash foiz turli davriy foiz stavkalari o'rtasida konvertatsiya qilish bo'yicha tafsilotlar uchun.

Hisob-kitoblarda rentabellik darajasi echilgan o'zgaruvchi yoki diskontlangan stavka, foizlar, inflyatsiya, rentabellik darajasi, kapital qiymati, qarzlar qiymati yoki boshqa shunga o'xshash tushunchalarning bir qatorini o'lchaydigan oldindan belgilangan o'zgaruvchi bo'lishi mumkin. Tegishli stavkani tanlash mashqlar uchun juda muhimdir va noto'g'ri diskont stavkasidan foydalanish natijalarni ma'nosiz qiladi.

Annuitetlar bilan bog'liq hisob-kitoblar uchun to'lovlar har bir davr oxirida (oddiy annuitet deb nomlanadi) yoki har bir davr boshida (annuitet deb nomlanuvchi) amalga oshiriladimi-yo'qligiga qaror qilish kerak. Moliyaviy kalkulyatordan foydalanganda yoki a elektron jadval, odatda har ikkala hisoblash uchun o'rnatilishi mumkin. Quyidagi formulalar oddiy annuitet uchun. Kerakli annuitetning hozirgi qiymati bo'yicha javob uchun oddiy annuitetning PV (1 + ga ko'paytirilishi mumkin men).

Formula

Quyidagi formulada ushbu umumiy o'zgaruvchilar qo'llaniladi:

• PV vaqtdagi qiymat = 0 (mavjud qiymat)
• FV vaqtdagi qiymat =n (kelajakdagi qiymat)
• A har bir murakkab davrda individual to'lovlarning qiymati
• n davrlar soni (tamsayı shart emas)
• men bo'ladi stavka foizi unda miqdori har bir davrga birikadi
• g bu har bir davr uchun to'lovlarning o'sib boruvchi darajasi

Hozirgi summaning kelajakdagi qiymati

The kelajakdagi qiymat (FV) formulasi o'xshash va bir xil o'zgaruvchilardan foydalanadi.

${ displaystyle FV = PV cdot (1 + i) ^ {n}}$

Kelajakdagi yig'indining hozirgi qiymati

Joriy qiymat formulasi pulning vaqt qiymati uchun asosiy formuladir; boshqa formulalarning har biri ushbu formuladan kelib chiqadi. Masalan, annuitet formulasi hozirgi qiymatni hisoblash ketma-ketligining yig'indisidir.

The hozirgi qiymat (PV) formulaning to'rtta o'zgaruvchisi bor, ularning har birini echish mumkin raqamli usullar:

${ displaystyle PV = { frac {FV} {(1 + i) ^ {n}}}}$

Kümülatif hozirgi qiymat kelgusi pul oqimlarining hissalarini yig'ish orqali hisoblash mumkin FV_t, pul oqimining bir vaqtning o'zida qiymati t:

${ displaystyle PV = sum _ {t = 1} ^ {n} { frac {FV_ {t}} {(1 + i) ^ {t}}}}$

Ushbu ketma-ketlikni berilgan qiymat uchun yig'ish mumkinligiga e'tibor bering n, yoki qachon n ∞.^[8] Bu quyida keltirilgan bir nechta muhim maxsus holatlarga olib keladigan juda umumiy formuladir.

N to'lov davri uchun annuitetning joriy qiymati

Bu holda pul oqimi qiymatlari butun davomida bir xil bo'lib qoladi n davrlar. Ning joriy qiymati annuitet (PVA) formulasi to'rtta o'zgaruvchiga ega, ularning har biri raqamli usullar bilan echilishi mumkin:

${ displaystyle PV (A) , = , { frac {A} {i}} cdot left [{1 - { frac {1} { left (1 + i right) ^ {n} }}} o'ng]}$

PV ning an-ni olish uchun to'lanadigan renta, yuqoridagi tenglamani (1 + ga ko'paytiring men).

O'sib borayotgan annuitetning hozirgi qiymati

Bunday holda har bir pul oqimi (1+) ga ko'payadig). Annuitet formulasiga o'xshab, o'sib borayotgan annuitetning hozirgi qiymati (PVGA) bir xil o'zgaruvchilarni qo'shib ishlatadi g annuitetning o'sish sur'ati sifatida (A - bu birinchi davrda annuitet to'lovi). Bu moliyaviy kalkulyatorlarda kamdan-kam hollarda ta'minlanadigan hisob-kitob.

I i g:

${ displaystyle PV (A) , = , {A over (i-g)} chap [1- chap ({1 + g over 1 + i} right) ^ {n} right]}$

Bu erda i = g:

${ displaystyle PV (A) , = , {A times n over 1 + i}}$

O'sib borayotgan PVni olish uchun to'lanadigan renta, yuqoridagi tenglamani (1 + ga ko'paytiring men).

Doimiylikning hozirgi qiymati

A abadiylik muntazam ravishda yuzaga keladigan va abadiy davom etadigan belgilangan miqdordagi pulni to'lashdir. Qachon n → ∞, the PV abadiylik (doimiy annuitet) formulasi oddiy bo'linishga aylanadi.

${ displaystyle PV (P) = {A over i}}$

O'sib borayotgan abadiylikning hozirgi qiymati

Doimiy annuitet to'lovi belgilangan stavka bo'yicha o'sganda (g, bilan g < men) qiymat quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi, sozlash yo'li bilan olinadi n o'sib boruvchi abadiylikning oldingi formulasida cheksizlikka:

${ displaystyle PV (A) , = , {A over i-g}}$

Amalda aniq xususiyatlarga ega bo'lgan qimmatli qog'ozlar kam va bu baholash yondashuvini qo'llash turli xil malakalar va modifikatsiyalarga bog'liq. Eng muhimi, doimiy o'sish sur'atlari va haqiqiy doimiy pul oqimini yaratish bilan o'sib boruvchi doimiy rentani topish kamdan-kam uchraydi. Ushbu malakalarga qaramay, ko'chmas mulk, qimmatli qog'ozlar va boshqa aktivlarni baholashda umumiy yondashuvdan foydalanish mumkin.

Bu hammaga ma'lum Gordon o'sish modeli uchun ishlatilgan aktsiyalarni baholash.

Annuitetning kelajakdagi qiymati

Kelajakdagi qiymat (keyin n annuitet (FVA) formulasining to'rtta o'zgaruvchisi bor, ularning har biri raqamli usullar bilan echilishi mumkin:

${ displaystyle FV (A) , = , A cdot { frac { left (1 + i right) ^ {n} -1} {i}}}$

To'lanadigan annuitetning FV qiymatini olish uchun yuqoridagi tenglamani (1 + i) ga ko'paytiring.

O'sib borayotgan annuitetning kelajakdagi qiymati

Kelajakdagi qiymat (keyin n o'sib borayotgan annuitet (FVA) formulasining beshta o'zgaruvchisi bor, ularning har biri raqamli usullar bilan echilishi mumkin:

I i g:

${ displaystyle FV (A) , = , A cdot { frac { chap (1 + i o'ng) ^ {n} - chap (1 + g o'ng) ^ {n}} {ig} }}$

Bu erda i = g:

${ displaystyle FV (A) , = , A cdot n (1 + i) ^ {n-1}}$

Formulalar jadvali

Quyidagi jadvalda pulning vaqt qiymatini hisoblashda tez-tez ishlatiladigan turli xil formulalar umumlashtirilgan.^[9] Ushbu qiymatlar ko'pincha foiz stavkasi va vaqti ko'rsatilgan jadvallarda ko'rsatiladi.

Toping	Berilgan	Formula
Kelajakdagi qiymat (F)	Hozirgi qiymati (P)	${ displaystyle F = P cdot (1 + i) ^ {n}}$
Hozirgi qiymat (P)	Kelajakdagi qiymat (F)	${ displaystyle P = F cdot (1 + i) ^ {- n}}$
Takroriy to'lov (A)	Kelajakdagi qiymat (F)	${ displaystyle A = F cdot { frac {i} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$
Takroriy to'lov (A)	Hozirgi qiymat (P)	${ displaystyle A = P cdot { frac {i (1 + i) ^ {n}} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$
Kelajakdagi qiymat (F)	Takroriy to'lov (A)	${ displaystyle F = A cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}}$
Hozirgi qiymat (P)	Takroriy to'lov (A)	${ displaystyle P = A cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i (1 + i) ^ {n}}}}$
Kelajakdagi qiymat (F)	Dastlab gradient to'lovi (G)	${ displaystyle F = G cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -in-1} {i ^ {2}}}}$
Hozirgi qiymati (P)	Dastlab gradient to'lovi (G)	${ displaystyle P = G cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -in-1} {i ^ {2} (1 + i) ^ {n}}}}$
Ruxsat etilgan to'lov (A)	Dastlab gradient to'lovi (G)	${ displaystyle A = G cdot left [{ frac {1} {i}} - { frac {n} {(1 + i) ^ {n} -1}} right]}$
Kelajakdagi qiymat (F)	Dastlab tobora ko'payib borayotgan to'lov (D) Borayotgan foiz (g)	${ displaystyle F = D cdot { frac {(1 + g) ^ {n} - (1 + i) ^ {n}} {g-i}}}$ (i ≠ g uchun) ${ displaystyle F = D cdot { frac {n (1 + i) ^ {n}} {1 + g}}}$ (i = g uchun)
Hozirgi qiymat (P)	Dastlab tobora ko'payib borayotgan to'lov (D) Borayotgan foiz (g)	${ displaystyle P = D cdot { frac { left ({1 + g over 1 + i} right) ^ {n} -1} {g-i}}}$ (i ≠ g uchun) ${ displaystyle P = D cdot { frac {n} {1 + g}}}$ (i = g uchun)

Izohlar:

• A har bir davr uchun belgilangan to'lov miqdori
• G dan boshlanadigan o'sib borayotgan to'lov summasining dastlabki to'lov miqdori G va ortadi G har bir keyingi davr uchun.
• D. dan boshlanadigan eksponent (geometrik) o'sib boradigan to'lovning dastlabki to'lov miqdori D. va (1+ ga ko'payadi)g) har bir keyingi davr.

Hosilliklar

Annuitetni chiqarish

Muntazam kelajakdagi to'lovlar oqimining (annuitet) joriy qiymati formulasi quyida keltirilgan yagona kelgusi to'lovning kelajak qiymati formulasi yig'indisidan kelib chiqadi, bu erda C to'lov miqdori va n davr.

Kelgusida bitta to'lov C m kelajakda quyidagi kelajak qiymatiga ega n:

${ displaystyle FV = C (1 + i) ^ {n-m}}$

1-dan n-gacha bo'lgan barcha to'lovlarni yig'ib, keyin t-ni qaytaring

${ displaystyle FVA = sum _ {m = 1} ^ {n} C (1 + i) ^ {nm} = sum _ {k = 0} ^ {n-1} C (1 + i) ^ {k}}$

Bu a ekanligini unutmang geometrik qatorlar, boshlang'ich qiymati bilan a = C, multiplikativ omil 1 + ga teng men, bilan n shartlar. Geometrik qatorlar formulasini qo'llasak, olamiz

${ displaystyle FVA = { frac {C (1- (1 + i) ^ {n})} {1- (1 + i)}} = { frac {C (1- (1 + i)) ^ {n})} {- i}}}$

Annuitetning hozirgi qiymati (PVA) shunchaki bo'linish yo'li bilan olinadi ${ displaystyle (1 + i) ^ {n}}$:

${ displaystyle PVA = { frac {FVA} {(1 + i) ^ {n}}} = { frac {C} {i}} left (1 - { frac {1} {(1+) i) ^ {n}}} o'ng)}$

Annuitetning kelajakdagi qiymatini olishning yana bir oddiy va intuitiv usuli bu foizlarni annuitet sifatida to'laydigan va asosiy qarzi doimiy bo'lib turadigan vaqfni hisobga olishdir. Ushbu gipotetik ehsonning asosiy miqdorini foizlar annuitet to'lovi miqdoriga teng deb hisoblash mumkin:

${ displaystyle { text {Principal}} times i = C}$

${ displaystyle { text {Principal}} = C / i + {goal}}$

E'tibor bering, asosiy fond + to'plangan annuitet to'lovlari birlashtirilgan tizimiga hech qanday pul kirmaydi yoki chiqmaydi va shu sababli ushbu tizimning kelajakdagi qiymati kelajakdagi qiymat formulasi orqali hisoblab chiqilishi mumkin:

${ displaystyle FV = PV (1 + i) ^ {n}}$

Dastlab, har qanday to'lovlar oldidan tizimning joriy qiymati faqat mablag 'asosiy hisoblanadi (${ displaystyle PV = C / i}$). Oxir-oqibat, kelajakdagi qiymat - bu asosiy fond (shu bilan bir xil) va jami annuitet to'lovlarining kelajakdagi qiymati (${ displaystyle FV = C / i + FVA}$). Buni tenglamaga qaytarish:

${ displaystyle { frac {C} {i}} + FVA = { frac {C} {i}} (1 + i) ^ {n}}$

${ displaystyle FVA = { frac {C} {i}} chap [ chap (1 + i o'ng) ^ {n} -1 o'ng]}$

Doimiylikni keltirib chiqarish

Bu erda rasmiy lotinni ko'rsatmasdan, abadiylik formulasi annuitet formulasidan kelib chiqadi. Xususan, atama:

${ displaystyle left ({1- {1 over {(1 + i) ^ {n}}}} right)}$

ning qiymatiga 1 ga yaqinlashishini ko'rish mumkin n kattalashib boradi. Cheksizligida, u 1 ga teng bo'lib, tark etadi ${ displaystyle {C over i}}$ qolgan yagona muddat sifatida.

Uzluksiz birikma

Ba'zan stavkalar uzluksiz aralash qiziqish mutanosib ekvivalenti qulayroq bo'lganligi sababli (masalan, osonroq farqlanadigan). Yuqoridagi formulalarning har biri doimiy ekvivalentlarida qayta yozilishi mumkin. Masalan, kelajakdagi to'lovning 0 vaqtidagi hozirgi qiymati t quyidagi tarzda qayta tiklanishi mumkin, qaerda e ning asosidir tabiiy logaritma va r doimiy ravishda biriktirilgan stavka:

${ displaystyle { text {PV}} = { text {FV}} cdot e ^ {- rt}}$

Buni vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan chegirma stavkalari bo'yicha umumlashtirish mumkin: doimiy chegirma stavkasi o'rniga r, biri vaqt funktsiyasidan foydalanadi r(t). Bunday holda, pul mablag'lari oqimining diskontlash omili va shu bilan hozirgi qiymati T tomonidan berilgan ajralmas uzluksiz biriktirilgan stavka r(t):

${ displaystyle { text {PV}} = { text {FV}} cdot exp left (- int _ {0} ^ {T} r (t) , dt right)}$

Darhaqiqat, uzluksiz birikmani qo'llashning asosiy sababi o'zgaruvchan chegirma stavkalarini tahlil qilishni soddalashtirish va hisoblash vositalaridan foydalanishga imkon berishdir. Bundan tashqari, bir kecha-kunduzda hisoblangan va kapitallashtirilgan foizlar uchun (shu sababli har kuni aralashtiriladi), uzluksiz birikma haqiqiy kunlik aralashma uchun yaqin taxmin hisoblanadi. Keyinchalik murakkab tahlillardan foydalanishni o'z ichiga oladi differentsial tenglamalar, quyida batafsil ma'lumot berilgan.

Misollar

Uzluksiz aralashma yordamida turli xil asboblar uchun quyidagi formulalar olinadi:

Annuitet

${ displaystyle PV = {A (1-e ^ {- rt}) ustidan e ^ {r} -1}}$

Doimiylik

${ displaystyle PV = {A over e ^ {r} -1}}$

Rivojlanayotgan annuitet

${ displaystyle PV = {Ae ^ {- g} (1-e ^ {- (r-g) t}) over ^ {(r-g)} - 1}}$

Doimiylikning o'sishi

${ displaystyle PV = {Ae ^ {- g} ustidan e ^ {(r-g)} - 1}}$

Uzluksiz to'lovlar bilan annuitet

${ displaystyle PV = {1-e ^ {(- rt)} ustidan r}}$

Ushbu formulalar A to'lovi birinchi to'lov davrida amalga oshiriladi va annuitet t vaqtida tugaydi deb taxmin qiladi.^[10]

Differentsial tenglamalar

Oddiy va qisman differentsial tenglamalar (ODE va ​​PDE) - hosilalar va bitta (o'z navbatida, ko'p) o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan tenglamalar, yanada takomillashtirilgan muolajalarda hamma joyda mavjud. moliyaviy matematika. Pulning vaqt qiymatini differentsial tenglamalar doirasidan foydalanmasdan tushunish mumkin bo'lsa-da, qo'shimcha naflilik vaqt qiymatiga qo'shimcha yorug'lik beradi va murakkabroq va unchalik tanish bo'lmagan vaziyatlarni ko'rib chiqishdan oldin oddiy kirish so'zini beradi. Ushbu ko'rgazma quyidagicha (Carr & Flesaker 2006 yil, 6-7 betlar).

Diferensial tenglama istiqboli olib keladigan tub o'zgarish, a hisoblash o'rniga raqam (joriy qiymat hozir), biri hisoblaydi a funktsiya (hozirgi qiymat hozir yoki istalgan nuqtada kelajak). Keyinchalik bu funktsiyani tahlil qilish mumkin - vaqt o'tishi bilan uning qiymati qanday o'zgaradi - yoki boshqa funktsiyalar bilan taqqoslash mumkin.

Rasmiy ravishda, "qiymat vaqt o'tishi bilan pasayib boradi" degan ibora chiziqli differentsial operator ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ kabi:

${ displaystyle { mathcal {L}}: = - qismli _ {t} + r (t).}$

Bu shuni ko'rsatadiki, qiymatlar vaqt o'tishi bilan (-) kamayadi (∂)_t) chegirma stavkasi bo'yicha (r(t)). U beradigan funktsiyaga nisbatan qo'llaniladi:

${ displaystyle { mathcal {L}} f = - kısalt _ {t} f (t) + r (t) f (t).}$

To'lov oqimi tomonidan tavsiflangan vosita uchun f(t), qiymati V(t) qoniqtiradi bir hil emas birinchi darajali ODE ${ displaystyle { mathcal {L}} V = f}$ ("bir hil bo'lmagan", chunki u bor f 0 o'rniga "birinchi darajali" narsa, chunki birinchi derivativlarga ega, ammo undan yuqori derivativlar yo'q) - bu har qanday pul oqimi sodir bo'lganda, asbobning qiymati pul oqimining qiymatiga qarab o'zgarishini (agar siz olsangiz) £ 10 kupon, qolgan qiymat aynan £ 10 ga kamayadi).

ODElarni tahlil qilishda standart texnik vosita Yashilning vazifalari, undan boshqa echimlarni qurish mumkin. Pulning vaqt qiymati bo'yicha Grinning funktsiyasi (ODE vaqt qiymati uchun) - bu vaqtning bir nuqtasida £ 1 to'laydigan obligatsiyaning qiymati. siz - har qanday boshqa pul oqimining qiymatini keyinchalik ushbu asosiy pul oqimining kombinatsiyalarini olish yo'li bilan olish mumkin. Matematik nuqtai nazardan, bu bir zumda pul oqimi a sifatida modellashtirilgan Dirac delta funktsiyasi ${ displaystyle delta _ {u} (t): = delta (t-u).}$

Vaqtdagi qiymat uchun Yashilning funktsiyasi t vaqtda £ 1 pul oqimining siz bu

${ displaystyle b (t; u): = H (u-t) cdot exp left (- int _ {t} ^ {u} r (v) , dv right)}$

qayerda H bo'ladi Heaviside qadam funktsiyasi - yozuv "${ displaystyle; u}$"buni ta'kidlashdir siz a parametr (har qanday holatda belgilanadi - pul oqimi sodir bo'ladigan vaqt), while t a o'zgaruvchan (vaqt). Boshqacha qilib aytganda, kelajakdagi pul oqimlari summa (integral, ${ displaystyle textstyle { int}}$kelajakdagi chegirma stavkalari (${ displaystyle textstyle { int _ {t} ^ {u}}}$ kelajak uchun, r(vO'tgan pul oqimlari 0 (${ displaystyle H (u-t) = 1 { text {if}} t u}$), chunki ular allaqachon sodir bo'lgan. Qiymat ekanligini unutmang da pul oqimining momenti yaxshi aniqlanmagan - o'sha paytda to'xtash mavjud bo'lib, konventsiyadan foydalanish mumkin (pul oqimlari allaqachon sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmagan deb taxmin qiling) yoki shunchaki bu nuqtadagi qiymatni aniqlamang.

Agar chegirma stavkasi doimiy bo'lsa, ${ displaystyle r (v) equiv r,}$ bu soddalashtiradi

${ displaystyle b (t; u) = H (ut) cdot e ^ {- (ut) r} = { begin {case} e ^ {- (ut) r} & t$ u, end {case}}}

qayerda ${ displaystyle (u-t)}$ bu "pul oqimiga qadar qolgan vaqt".

Shunday qilib pul oqimlari oqimi uchun f(siz) vaqt bilan tugaydi T (sozlanishi mumkin ${ displaystyle T = + infty}$ vaqt uchun ufq yo'q) vaqtdagi qiymat t, ${ displaystyle V (t; T)}$ ushbu individual pul oqimlari qiymatlarini birlashtirish orqali beriladi:

${ displaystyle V (t; T) = int _ {t} ^ {T} f (u) b (t; u) , du.}$

Bu pulning vaqt qiymatini turli xil diskontlash stavkalari bilan pul oqimlarining kelajakdagi qiymatlariga rasmiylashtiradi va moliyaviy matematikaning ko'plab formulalariga asos bo'ladi, masalan Qora-Skoulz formulasi bilan o'zgaruvchan foiz stavkalari.

Shuningdek qarang